(06年山東卷理)(12分)

雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn),直線為C的一條漸近線。

(1)求雙曲線C的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)的直線,交雙曲線C于A、B兩點(diǎn),交軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合),當(dāng),且時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析:(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為,由橢圓 

求得兩焦點(diǎn)為,

對(duì)于雙曲線,又為雙曲線的一條漸近線

  解得

雙曲線的方程為

(Ⅱ)解法一:

由題意知直線的斜率存在且不等于零。

設(shè)的方程:,,則

在雙曲線上,

同理有:

則直線過(guò)頂點(diǎn),不合題意.

是二次方程的兩根.

,

此時(shí).

所求的坐標(biāo)為.

解法二:

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程,,則.

,的比為.

由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得

下同解法一

解法三:

由題意知直線的斜率存在且不等于零

設(shè)的方程:,則.

,

.

,

,

,,即

代入

,否則與漸近線平行。

。

,

解法四:

由題意知直線l得斜率k存在且不等于零,設(shè)的方程:

,。

同理,.

即    。                                    (*)

又   

消去y得.

當(dāng)時(shí),則直線l與雙曲線得漸近線平行,不合題意,

由韋達(dá)定理有:

代入(*)式得    

所求Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。

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