【題目】如圖,在幾何體ABCDEF中,底面ABCD為矩形,EF∥CD,CD⊥EA,CD=2EF=2,ED= .M為棱FC上一點(diǎn),平面ADM與棱FB交于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求證:ED⊥CD;
(Ⅱ)求證:AD∥MN;
(Ⅲ)若AD⊥ED,試問(wèn)平面BCF是否可能與平面ADMN垂直?若能,求出 的值;若不能,說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)證明:因?yàn)锳BCD為矩形,所以VD⊥AD.

又因?yàn)镃D⊥EA,

所以CD⊥平面EAD.

所以ED⊥CD.

(Ⅱ)證明:因?yàn)锳BCD為矩形,所以AD∥BC,

所以AD∥平面FBC.

又因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN,

所以AD∥MN

(Ⅲ)解:平面ADMN與平面BCF可以垂直.證明如下:

連接DF.

因?yàn)锳D⊥ED,AD⊥CD.ED∩CD=D,

所以AD⊥平面CDEF.

所以AD⊥DM.

因?yàn)锳D∥MN,所以DM⊥MN.

因?yàn)槠矫鍭DMN∩平面FBC=MN,

若使平面ADMN⊥平面BCF,

則DM⊥平面BCF,所以DM⊥FC.

在梯形CDEF中,因?yàn)镋F∥CD,DE⊥CD,CD=2EF=2,ED= ,

所以DF=DC=2.

所以若使DM⊥FC能成立,則M為FC的中點(diǎn).

所以 =


【解析】(Ⅰ)證明:CD⊥平面EAD,即可證明ED⊥CD;(Ⅱ)證明AD∥平面FBC,即可證明:AD∥MN;(Ⅲ)若使平面ADMN⊥平面BCF,則DM⊥平面BCF,所以DM⊥FC,可得DF=DC=2.若使DM⊥FC能成立,則M為FC的中點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想),還要掌握直線與平面垂直的性質(zhì)(垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為菱形,底面△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,A1B⊥B1C.
(1)求證:直線AC⊥直線BB1
(2)若直線BB1與底面ABC成的角為60°,求二面角A﹣BB1﹣C的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足(2a﹣c)cosB=bcosC.
(1)求B的大小;
(2)如圖,AB=AC,在直線AC的右側(cè)取點(diǎn)D,使得AD=2CD=4.當(dāng)角D為何值時(shí),四邊形ABCD面積最大.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于(
A.
B.1
C.2
D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)f(x)=x|x|.若存在x∈[1,+∞),使得f(x﹣2k)﹣k<0,則k的取值范圍是(
A.(2,+∞)
B.(1,+∞)
C.( ,+∞)
D.( ,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A,B兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組:[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:

B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

[0,10)

2

[10,20)

3

[20,30)

5

[30,40)

15

[40,50)

40

[50,60]

35

定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下:

分?jǐn)?shù)

[0,30)

[30,50)

[50,60]

滿意度指數(shù)

0

1

2


(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù);
(Ⅱ)從該校在A,B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率;
(Ⅲ)如果從A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家?說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且4Sn=(an+1)2 . (Ⅰ)求a1 , a2的值及{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列 的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ (a∈R).
(1)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的值;
(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) 下列四個(gè)命題: ①f(f(1))>f(3);
x0∈(1,+∞), ;
③f(x)的極大值點(diǎn)為x=1;
x1 , x2∈(0,+∞),|f(x1)﹣f(x2)|≤1
其中正確的有 . (寫出所有正確命題的序號(hào))

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案