Question

課本在介紹“i²=-1的幾何意義”中講到：將復平面上的向量乘以i就是沿逆時針方向旋轉90°，那么乘以-i就是沿順時針方向旋轉90°，做以下填空：
①已知復平面上的向量

OM

、

ON

分別對應復數3-i、-2+i，則向量

MN

對應的復數為

 

；
②那么，以線段MN為一邊作兩個正方形MNQP和MNQ，P，則點P、Q對應的復數分別為

 

、

 

；
③點P、Q，對應的復數分別為

 

、

 

．

Answer 1

分析：求出向量

MN

對應的復數，設點P（a，b），Q（s，r），①當

MP

 可以看成把

MN

順時針旋轉90°得到的時，

MP

 對應的復數為（-5+2i）（-i）=2+5i，可得 a-3=2，b+1=5，解得a、b的值，即得點P對應的復數．根據
 

NQ

 對應的復數和

MP

 對應的復數相等，求得Q對應的復數．
②當

MP

 可以看成把

MN

逆時針旋轉90°得到的時，同理可求．

解答：解：向量

MN

對應的復數為 （-2+i）-（3-i）=-5+2i，設點P（a，b），Q（s，r），
則

MP

 可以看成把

MN

逆時針旋轉90°，或把

MN

順時針旋轉90°得到的，
①當

MP

 可以看成把

MN

順時針旋轉90°得到的時，

MP

 對應的復數為（-5+2i）（-i）=2+5i，
∴a-3=2，b+1=5，∴a=5，b=4，∴P（5，4）．
由正方形的性質可得

NQ

 對應的復數和

MP

 對應的復數相等，為2+5i，∴s+2=2，r-1=5，
∴s=0，r=6，∴Q（0，6），故點P，Q，對應的復數分別為：5+4i 和  6i．
②當

MP

 可以看成把

MN

逆時針旋轉90°得到的時，

MP

 對應的復數為（-5+2i）i=-2-5i，
∴a-3=-2，b+1=-5，∴a=1，b=-6，∴P（1，-6）．
由正方形的性質可得

NQ

 對應的復數和

MP

 對應的復數相等，為-2-5i，∴s+2=-2，r-1=-5，
∴s=-4，r=-4，∴Q（-4，-4），故點P，Q，對應的復數分別為：1-6i 和-4-4i．
故答案：①-5+2i；②5+4i；  6i；③1-6i；-4-4i．

點評：本題考查復數的基本概念，復數與復平面內對應點之間的關系，兩個復數代數形式的乘法，體現了分類討論的數學思想，求出

MP

 對應的復數，是解題的難點．