(本題滿分14分)已知函數(shù)
的圖象在點
處的切線的斜率為
,且在
處取得極小值。
(1)求
的解析式;
(2)已知函數(shù)
定義域為實數(shù)集
,若存在區(qū)間
,使得
在
的值域也是
,稱區(qū)間
為
函數(shù)
的“保值區(qū)間”.
①當(dāng)
時,請寫出函數(shù)
的一個“保值區(qū)間”(不必證明);
②當(dāng)
時,問
是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.
解:(1)∵
,
∴
…… 1 分
由
…… 4 分
∴
, 令
,解得
,
當(dāng)
變化時,
,
的變化情況如下表:
∴當(dāng)
時,
取得極小值。
所以,
。 …… 5 分
(2) ①
…… 7 分
②由(1)得
,
假設(shè)當(dāng)x>1時,
存在“保值區(qū)間”:[m,n](n>m>1)。
因為當(dāng)x>1時,
所以
在區(qū)間
是增函數(shù),
依題意,
于是問題轉(zhuǎn)化為
有兩個大于1的根。 …… 9 分
現(xiàn)在考察函數(shù)
則
令
又∵
∴1<
當(dāng)
變化時,
,
的變化情況如下表:
| (1,)
|
|
|
| -
| 0
| +
|
| 單調(diào)遞減
| 極小值
| 單調(diào)遞增
|
所以,
在在(1
,
) 上單調(diào)遞減, 在
上單調(diào)遞增。 …… 12 分
于是,
,
又因為
所以,當(dāng)
時,
的圖象與
軸只有一個交點, …… 1
3 分
即方程
有且只有一個大于1的根,與假設(shè)矛盾。
故當(dāng)x>1時,
不存在“保值區(qū)間”。 …… 14 分
(2)解法2:由(1)得
,
② 假設(shè)當(dāng)x>1時,
存在“保值區(qū)間”:[m,n](n>m>1)。
因為當(dāng)x>1時,
所以
在區(qū)間
是增函數(shù),
依題意,
于是問題轉(zhuǎn)化為方程
,即
有兩個大于1的根! 9 分
考察函數(shù)
=
(
),與函數(shù)
(
).
當(dāng)x>1時,
,
所以
而函數(shù)
在區(qū)間
…… 12 分
又因為
所以
,
因此函數(shù)
=
(
)的圖象與函數(shù)
(
)的圖象只有一個交點。
…… 13分
即方程
有且只有一大于1的根,與假設(shè)矛盾。
故當(dāng)
時,
不存在“保值區(qū)間”
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
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已知函數(shù)
(Ⅰ)判斷
的奇偶性.
(Ⅱ)判斷
在
內(nèi)單調(diào)性并用定義證明;
(Ⅲ)求
在區(qū)間
上的最小值.
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設(shè)定義在
上的函數(shù)
若關(guān)于
的方程
有3個不同的實數(shù)解
,
,
,則
等于 ( )
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將函數(shù)
的圖象F沿
平移至F′,所得F′的函數(shù)解析式為
,則
的解析式為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
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已知
等于 ( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
方程
根的個數(shù)為
▲
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
對任意實數(shù)
,定義運算
,其中
為常數(shù),等號右邊的運算是通常意義的加、乘運算.現(xiàn)已知
,且有一個非零實數(shù)
,使得對任意實數(shù)
,都有
,則
( )
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