Question

【題目】已知橢圓的離心率為，經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）．設(shè)橢圓G的右頂點(diǎn)為A，過原點(diǎn)O的直線l與橢圓G交于P，Q兩點(diǎn)（點(diǎn)Q在第一象限），且與線段AB交于點(diǎn)M．

（Ⅰ）求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）是否存在直線l，使得△BOP的面積是△BMQ的面積的3倍？若存在，求直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)離心率為的橢圓過點(diǎn)，結(jié)合，列出、、 的方程，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)，則，經(jīng)分析可知要使的面積是的3倍，等價(jià)于

，由此可表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)在線段上與點(diǎn)在橢圓上分別代入直線與橢圓的方程化簡(jiǎn)可得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可知是否存在直線，使得的面積是的面積的3倍．

（Ⅰ）由題意可知：，解得．

∴橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）設(shè)，則，可知．

若使的面積是的面積的3倍，只需使得，

即，即．

由 ，∴直線的方程為．

∵點(diǎn)在線段上，∴，整理得，①

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，②把①式代入②式可得，

∵判別式小于零，該方程無解．∴不存在直線，使得的面積是的面積的3倍．