Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）當(dāng)時,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（3）求證：若函數(shù)在處取得極值,則對恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時, 單調(diào)減區(qū)間,無增區(qū)間；當(dāng)時, 單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出,,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）由，計算得出,取經(jīng)檢驗滿足條件， ,則,令利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得結(jié)果.

試題解析：（1）因為,當(dāng)時, ,

當(dāng), ,

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程.

（2）因為在, ,

當(dāng)時, 在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時, .

當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;

當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;

綜上所述,當(dāng)時, 單調(diào)減區(qū)間,無增區(qū)間.

當(dāng)時, 單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間.

（3）因為函數(shù)在處取得極值,所以

計算得出,取經(jīng)檢驗滿足條件.

由已知,則,

令

易得在區(qū)間上遞減,在區(qū)間上遞增,

所以即,

所以若函數(shù)在處取得極值,對恒成立.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式恒成立問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn) 出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時，在 處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點(diǎn)斜式求得切線方程.