解答題

已知函數(shù)f(x)=x3-x+c定義在區(qū)間[0,1]上,x1、x2∈[0,1]且x1≠x2

求證:(1)f(0)=f(1);

(2)|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|;

(3)|f(x2)-f(x1)|<1.

答案:
解析:

  證明:(1)∵f(x)=x3-x+c,∴f(0)=c,

  ∴f(1)=c,∴f(0)=f(1).

  (2)|f(x2)-f(x1)|=|(x23-x2+c)-(x13-x1+c)|

 。絴(x23-x13)-(x2-x1)|

  =|x2-x1|·|x22+x12+x1x2-1|.

  ∵x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,

  ∴x22+x12+x1x2∈(0,3).

  ∴|x22+x12+x1x2-1|<2,

  ∴|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|.

  (3)∵f(0)=f(1),

  ∴|f(x2)-f(x1)|=|f(x2)-f(1)+f(0)-f(x1)|≤|f(x2)-f(1)|+|f(0)-f(x1)|<2|x2-1|+2|0-x1|.

  又∵x1,x2∈[0,1]

  ∴|f(x2)-f(x1)|<2(1-x2)+2x1=2-2x2+2x1 、

  當(dāng)x2>x1時(shí),|f(x2)-f(x1)|<2|x2-x1|=2x2-2x1 、

 、伲诘脇f(x2)-f(x1)|<1.

  同理可證,當(dāng)x2<x1時(shí),也有|f(x2)-f(x1)|<1.


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(3)在[-π,π]上作出f(x)的圖象;

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