Question

【題目】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個交點(diǎn)為；自引直線交拋物線于兩個不同的點(diǎn)，設(shè).

（1)求拋物線的方程及橢圓的方程；

（2）若，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)橢圓的方程為，運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程，解方程可得，進(jìn)而得到橢圓的方程；再由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得，進(jìn)而得到拋物線的方程；

（2）記，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示和聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，及基本不等式，即可得到所求范圍.

(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，解得

∴橢圓的方程為

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴拋物線的方程是

(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由消去整理得（*）∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，∴，設(shè)，則①，②，

∵，∴∴，③

由①②③消去得.

∴ ，即 ，將代入上式得， ，∵在上單調(diào)遞減，

∴，即，∴ ，

∴，即的取值范圍為.