【題目】已知橢圓C方程為 (a>b>0),左、右焦點(diǎn)分別是F1 , F2 , 若橢圓C上的點(diǎn)P(1, )到F1 , F2的距離和等于4. (Ⅰ)寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q是橢圓C的動點(diǎn),求線段F1Q中點(diǎn)T的軌跡方程;
(Ⅲ)直線l過定點(diǎn)M(0,2),且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,若∠AOB為銳角(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線l的斜率k0的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由題意得:2a=4,得a=2, 又點(diǎn)P(1, )在橢圓 上,
∴ ,解得b2=1.
∴橢圓C的方程為 ,焦點(diǎn) ;
(Ⅱ)設(shè)橢圓上的動點(diǎn)Q(x0 , y0),線段F1Q中點(diǎn)T(x,y),
由題意得: ,得 ,代入橢圓的方程得 ,
即 為線段F1Q中點(diǎn)T的軌跡方程;
(Ⅲ)由題意得直線l的斜率存在且不為0,
設(shè)l:y=kx+2,代入 整理,
得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
△=(16k)2﹣4(1+4k2)12=16(4k2﹣3)>0,得 …①
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),∴ .
∵∠AOB為銳角,
∴cos∠AOB>0,則 ,
又 .
∴
=
= ,
∴k2<4 …②
由①、②得 .
∴k的取值范圍是 .
【解析】(Ⅰ)由題意得到橢圓的半長軸長,把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程求得b,則橢圓方程可求;(Ⅱ)設(shè)出Q和T的坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式把Q的坐標(biāo)用T的坐標(biāo)表示,代入橢圓方程可得線段F1Q中點(diǎn)T的軌跡方程;(Ⅲ)聯(lián)立直線和橢圓方程,化為關(guān)于x的應(yīng)用二次方程,由判別式大于0及 求解直線l的斜率的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種商品原來每件售價為25元,年銷售量8萬件.
(Ⅰ)據(jù)市場調(diào)查,若價格每提高1元,銷售量將相應(yīng)減少2000件,要使銷售的總收人不低于原收入,該商品每件定價最多為多少元?
(Ⅱ)為了擴(kuò)大該商品的影響力,提高年銷售量.公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革,并提高定價到x元.公司擬投入 (x2﹣600)萬元作為技改費(fèi)用,投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用,投入 x萬元作為浮動宣傳費(fèi)用.試問:當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時,才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和?并求出此時商品的每件定價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)在一個周期內(nèi)的圖象如圖,此函數(shù)的解析式為( )
A.y=2sin(2x+ )
B.y=2sin(2x+ )
C.y=2sin( ﹣ )
D.y=2sin(2x﹣ )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A、B、C是橢圓上不同的三點(diǎn), ,C在第三象限,線段BC的中點(diǎn)在直線OA上。
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)動點(diǎn)P在橢圓上(異于點(diǎn)A、B、C)且直線PB, PC分別交直線OA于M、N兩點(diǎn),證明為定值并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓, 在拋物線上,圓過原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 點(diǎn),點(diǎn)(與不重合)在直線上運(yùn)動,過點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為, .求證: (其中為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】支籃球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽(任兩支球隊恰進(jìn)行一場比賽),任兩支球隊之間勝率都是.單循環(huán)比賽結(jié)束,以獲勝的場次數(shù)作為該隊的成績,成績按從大到小排名次順序,成績相同則名次相同.有下列四個命題:
:恰有四支球隊并列第一名為不可能事件; :有可能出現(xiàn)恰有兩支球隊并列第一名;
:每支球隊都既有勝又有敗的概率為; :五支球隊成績并列第一名的概率為.
其中真命題是
A. ,, B. ,, C. .. D. ..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】回答下列問題
(1)已知圓C的方程為x2+y2=4,直線l過點(diǎn)P(1,2),且與圓C交于A、B兩點(diǎn).若|AB|=2 ,求直線l的方程;
(2)設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y﹣2﹣a=0(a∈R).若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知: 、 、 是同一平面上的三個向量,其中 =(1,2).
(1)若| |=2 ,且 ∥ ,求 的坐標(biāo).
(2)若| |= ,且 +2 與2 ﹣ 垂直,求 與 的夾角θ
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93,下列說法正確的是( )
A.這種抽樣方法是一種分層抽樣
B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D.該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)
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