Question

【題目】《漢字聽寫大會》不斷創(chuàng)收視新高，為了避免“書寫危機”弘揚傳統(tǒng)文化，某市對全市10萬名市民進(jìn)行了漢字聽寫測試，調(diào)查數(shù)據(jù)顯示市民的成績服從正態(tài)分布．現(xiàn)從某社區(qū)居民中隨機抽取50名市民進(jìn)行聽寫測試，發(fā)現(xiàn)被測試市民正確書寫漢字的個數(shù)全部在160到184之間，將測試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，第二組，…，第六組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（1）試評估該社區(qū)被測試的50名市民的成績在全市市民中成績的平均狀況及這50名市民成績在172個以上（含172個）的人數(shù)；

（2）在這50名市民中成績在172個以上（含172個）的人中任意抽取2人，該2人中成績排名（從高到低）在全市前130名的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：若～，則， ， ．

Answer 1

【答案】（1）平均值168，人數(shù)10（2） ,

【解析】試題分析：（1）根據(jù)組中值與對應(yīng)區(qū)間概率乘積的和為平均值求平均數(shù),根據(jù)直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間概率求概率,再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與概率乘積得人數(shù)（2）先確定隨機變量取法,再分別求對應(yīng)概率 列表得分布列,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望

試題解析：（Ⅰ）由直方圖，經(jīng)過計算該社區(qū)50名市民的平均成績?yōu)?/span>，高于全市的平均值168（或者：經(jīng)過計算該社區(qū)居民平均成績?yōu)?68.72，比較接近全市的平均值168.

由頻率分布直方圖知，后三組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數(shù)為0.2×50=10，即這50名市民成績在172個以上（含172 個）的人數(shù)為10人．

（Ⅱ）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴，0.0013×100 000=130．

所以，全市前130名的成績在180個以上(含180個)，這50人中成績在180 個以上(含180個)的有2人．隨機變量ξ可取0，1，2，

于是，，，

∴．