Question

【題目】設函數f（x）=lnx，g（x）= （m＞0）．
（1）當m=1時，函數y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線互相垂直，求n的值；
（2）若對任意x＞0，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，求實數n的值及實數m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=1時，g（x）= ．

∴f′（x）= ，g′（x）= = ．

∵函數y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線互相垂直，

∴f′（1）g′（1）=﹣1．

即1 =﹣1，解得n=5

（2）解：∵f（1）=0，|f（x）|≥|g（x）|恒成立，

∴|g（1）|=0，即 =0，

∵m＞0，∴n=﹣1．

∴g（x）= ．

∴當0＜x＜1時，g（x）＜0，當x＞1時，g（x）＞0．

又當0＜x＜1時，f（x）＜0，當x＞1時，f（x）＞0．

∵x＞0時，恒有|f（x）|≥|g（x）|成立，

∴當0＜x＜1時，﹣lnx≥﹣ ，即lnx﹣ ≤0．

∴m≤ ，

當x＞1時，lnx≥ ，∴m≤ ．

綜上：m≤ （x＞0且x≠1）．

設h（x）= ，則h′（x）= = ．

令m（x）=x﹣ ﹣2lnx（x＞0且x≠1），則m′（x）=1+ ﹣ = ＞0，

∴m（x）在（0，+∞）上是增函數，

∴當x＞1時，m（x）＞m（1）=0，當0＜x＜1時，m（x）＜m（1）=0，

∴當x＞1時，h′（x）＞0，當0＜x＜1時，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，

∵ = =2，

∴h（x）＞2．

∴m≤2．即m的最大值為2

【解析】（1）令f′（1）g′（1）=﹣1列方程解出n；（2）根據|g（1）|≤|f（1）|=0得出g（1）=0解出n，判斷f（x）和g（x）的符號，去掉絕對值，使用分離參數法得出m≤ ，利用導數求出右側函數的最小值即可得出m的最大值．