Question

【題目】已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是準(zhǔn)線l上的動(dòng)點(diǎn)，直線PF交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m（m≠0），點(diǎn)D為準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)． （Ⅰ）求直線PF的方程；
（Ⅱ）求△DAB的面積S范圍；
（Ⅲ）設(shè) ， ，求證λ+μ為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，m），（1，0）， 于是直線PF的斜率為 ，
所以直線PF的方程為 ，即為mx+2y﹣m=0．
（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），
由 得m2x2﹣（2m2+16）x+m2=0，
所以 ，x1x2=1．
于是 ．
點(diǎn)D到直線mx+2y﹣m=0的距離 ，
所以 ．
因?yàn)閙∈R且m≠0，于是S＞4，
所以△DAB的面積S范圍是（4，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）及 ， ，得（1﹣x1 ， ﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），（﹣1﹣x1 ， m﹣y1）=μ（x2+1，y2﹣m），
于是 ， （x2≠±1）．
所以 ．
所以λ+μ為定值0
【解析】（Ⅰ）由題知點(diǎn)P，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，m），（1，0），求出斜率用點(diǎn)斜式寫出直線方程．（Ⅱ）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1 ， y1），（x2 ， y2），用弦長公式求出線段AB的長，再由點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn)D到直線AB的距離，用三角形面積公式表示出面積關(guān)于參數(shù)m的表達(dá)式，再根據(jù)m的取值范圍求出面積的范圍．（Ⅲ） ， ，變化為坐標(biāo)表示式，從中求出參數(shù)λ，μ用兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，即可證明出兩者之和為定值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一般式方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）才能正確解答此題．