Question

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ex﹣x+a，x∈R．
（1）求f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最值；
（2）求證：當(dāng)a＞﹣1，且x＞0時(shí)， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ex﹣1，令f'（x）=0，則x=0，

x∈（﹣1，0），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，

x∈（0.2），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，

所以，f（x）min=f（0）=1+a；

又因?yàn)? ，

所以

（2）解：證明：令 ，

由（1）知，g'（x）≥g'（0）=1+a＞0，

所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，

所以g（x）＞g（0）=0，

所以，當(dāng)a＞﹣1，且x＞0時(shí)，

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值即可；（2）令 ，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）＞g（0），證出結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．