(2009•金山區(qū)一模)已知等差數(shù)列{an}滿足:a1+a2n-1=2n,(n∈N*),設(shè)Sn是數(shù)列{
1an
}的前n項(xiàng)和,記f(n)=S2n-Sn
(1)求an;(n∈N*)
(2)比較f(n+1)與f(n)的大;(n∈N*)
(3)如果函數(shù)g(x)=log2x-12f(n)(其中x∈[a,b])對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,其函數(shù)值都小于零,那么a、b應(yīng)滿足什么條件?
分析:(1)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列,所以數(shù)列中的每一項(xiàng)均可用首項(xiàng)和公差表示,代入a1+a2n-1=2n,即可求出an
(2)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,求出函數(shù)f(n)的表達(dá)式,再用作差法比較f(n+1)與f(n)的大。
(3)如果函數(shù)g(x)=log2x-12f(n)(其中x∈[a,b])對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,其函數(shù)值都小于零,則log2x-12f(n)<0恒成立,即當(dāng)x∈[a,b]時(shí),log2x小于12f(n)的最小值,根據(jù)f(n)的單調(diào)性求出最小值即可.
解答:解:(1)設(shè)an=a1+(n-1)d,(n∈N*),由a1+a2n-1=2n,得a1+a1+(2n-1-1)d=2n,
所以an=n
(2)由Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=
1
1
+
1
2
+…+
1
n

f(n)=S2n-Sn=(
1
1
+
1
2
+…+
1
2n
)-(
1
1
+
1
2
+…+
1
n
)=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n

因?yàn)閒(n+1)-f(n)=(
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+2
)-(
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n

=
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1

=
1
(2n+1)(2n+2)
>0
所以f(n+1)>f(n) 
(3)由(2)可知:數(shù)列{f(n)}的項(xiàng)的取值是隨n的增大而增大,
當(dāng)n≥2時(shí),f(n)的最小值為f(2)=
1
3
+
1
4
=
7
12

由函數(shù)y=log2x的性質(zhì)可知,在區(qū)間(0,27)上的函數(shù)值恒小于7,
所以a、b應(yīng)滿足條件0<a<b<27
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合運(yùn)用,注意兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•金山區(qū)一模)若函數(shù)f(x)、g(x)的定義域和值域都是R,則“f(x)<g(x),x∈R”成立的充要條件是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•金山區(qū)一模)若f(n)為n2+1的各位數(shù)字之和(n∈N*).如:因?yàn)?42+1=197,1+9+7=17,所以f(14)=17.記f1(n)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,則f2005(8)=
11
11

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•金山區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=loga
1-mxx-1
在定義域D上是奇函數(shù),(其中a>0且a≠1).
(1)求出m的值,并求出定義域D;
(2)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)當(dāng)x∈(r,a-2)時(shí),f(x)的值的范圍恰為(1,+∞),求a及r的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•金山區(qū)一模)在(x2+
1x
)6
的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第
5
5
項(xiàng).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•金山區(qū)一模)(
1+i1-i
2010=
-1
-1
.(i為虛數(shù)單位)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案