已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為對(duì)稱中心,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(1,0),點(diǎn)(
3
2
6
2
)
在橢圓上,直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)(0,
1
5
)
,求出直線l的方程.
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件知c=1,由點(diǎn)(
3
2
,
6
2
)
在橢圓上,知b2=2,a2=3,由此能求出橢圓方程.
(Ⅱ)當(dāng)k不存在時(shí),MN的垂直平分線為x軸,不過(guò)點(diǎn)(0,
1
5
)
,不合題意.設(shè)直線y=k(x-1)∴
y=k(x-1)
x2
3
+
y2
2
=1
,(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,然后由韋達(dá)定理進(jìn)行求解.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1∴c=1∴a2=b2+1
∵點(diǎn)(
3
2
,
6
2
)
在橢圓上,
3
4
a2
+
6
4
b2
=1…3
分∴4b4-5b2-6=0∴b2=2,a2=3∴
x2
3
+
y2
2
=1…6

(Ⅱ)當(dāng)k不存在時(shí),MN的垂直平分線為x軸,不過(guò)點(diǎn)(0,
1
5
)
,不合題意.…(7分)
設(shè)直線y=k(x-1)∴
y=k(x-1)
x2
3
+
y2
2
=1
∴(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0…(8分)∴x1+x2=
6k2
2+3k2
,y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=-
4k
2+3k2
MN的中點(diǎn)為(
3k2
2+3k2
,-
2k
2+3k2
)…10
分∴
-2k
2+3k2
-
1
5
3k2
2+3k2
=-
1
k
∴3k2-5k+2=0∴k=
2
3
或k=1
y=
2
3
(x-1)或y=x-1…13
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•武漢模擬)已知橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線y=kx-2與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且
OM
=
1
3
OA
,
ON
=
2
3
OB
,若原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓外,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為對(duì)稱中心,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(1,0),點(diǎn)數(shù)學(xué)公式在橢圓上,直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)數(shù)學(xué)公式,求出直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為對(duì)稱中心,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(1,0),點(diǎn)(
3
2
6
2
)
在橢圓上,直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn)(0,
1
5
)
,求出直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2007-2008學(xué)年山東省青島市膠南市高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為對(duì)稱中心,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為(1,0),點(diǎn)在橢圓上,直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于M,N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若線段MN的垂直平分線過(guò)點(diǎn),求出直線l的方程.

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