【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓： 的離心率為，直線l：y＝2上的點(diǎn)和橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1．

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ) 已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B，C是上的不同于A的兩點(diǎn)，且點(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AB，AC分別交直線l于點(diǎn)E，F．記直線與的斜率分別為， ．

① 求證： 為定值；

② 求△CEF的面積的最小值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）①詳見解析②

【解析】試題分析：

(1)由題意求得 的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)位于 軸上寫出標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

(2)①中，分別求得 的值，然后求解其乘積即可證得結(jié)論；

②中，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用面積公式得出三角形面積的解析式，最后利用均值不等式求得面積的最小值即可.

試題解析：

（Ⅰ）由題知，由，

所以．

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）① 證法一：設(shè)，則，

因?yàn)辄c(diǎn)B，C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，

所以．

證法二：直線AC的方程為，

由得，

解得，同理，

因?yàn)?/span>B，O，C三點(diǎn)共線，則由，

整理得，

所以．

②直線AC的方程為，直線AB的方程為，不妨設(shè)，則，

令y＝2，得，

而，

所以，△CEF的面積

．

由得，

則 ，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，

所以△CEF的面積的最小值為．

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x

[11，13）

[13，15）

[15，17）

[17，19）

[19，21）

[21，23）

頻數(shù)

2

12

34

38

10

4

（Ⅰ）作出樣本的頻率分布直方圖，并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù)；

（Ⅱ）若x＜13或x≥21，則該產(chǎn)品不合格．現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有一件的概率．

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(Ⅰ) 求曲線與交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)；

(Ⅱ) 點(diǎn)分別在曲線， 上，當(dāng)最大時(shí)，求的面積(為坐標(biāo)原點(diǎn))．

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