【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣mx+m,m∈R.
(1)已知函數(shù)f(x)在點(l,f(1))處與x軸相切,求實數(shù)m的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)在(1)的結(jié)論下,對于任意的0<a<b,證明: ﹣1.

【答案】
(1)解:由f(x)=lnx﹣mx+m,得

∵f(x)在點(l,f(1))處與x軸相切,

∴f′(1)=1﹣m=0,即m=1


(2)解:∵

當(dāng)m≤0時, ,知函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增;

當(dāng)m>0時, ,由f′(x)>0,得 ,

由f′(x)>0,得

即函數(shù)f(x)在 上遞增,在 上遞減


(3)證明:由(1)知m=1,得f(x)=lnx﹣x+1,

對于任意的0<a<b, ﹣1可化為

,其中0<a<b,

,其中0<a<b,

lnt﹣t+1<0,t>1,即f(t)<0,t>1.

由(2)知,函數(shù)f(x)在(1,+∞)遞減,且f(1)=0,于是上式成立.

故對于任意的0<a<b, 成立


【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由函數(shù)f(x)在點(l,f(1))處與x軸相切,可得f′(1)=0,從而求得m的值;(2)由(1)中求得的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),對m進(jìn)行分類,m≤0時,有f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增;m>0時,由導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;(3)把(1)中求出的m值代入函數(shù)解析式,把 ﹣1轉(zhuǎn)化為 ,令 后轉(zhuǎn)化為lnt﹣t+1<0,t>1,即f(t)<0,t>1.由(2)中的函數(shù)的單調(diào)性得到證明.
【考點精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

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A.(0, )∪( ,+∞)
B.( ,1)∪(1,
C.(0, )∪( ,+∞)
D.( ,1)∪(1,

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