Question

一個盒子裝有標號為1，2，3，4，5，6且質地相同的標簽各若干張，從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X，記P（X≤i）=P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=i），i=1，2，…，6．若（其中a為常數(shù)）
（1）求a的值以及隨機變量X的數(shù)學期望EX；
（2）有放回地每次抽取1張標簽，求得到兩張標簽上的標號之和為4的概率．

Answer 1

解：（1）∵，
∴P（X≤6）==1，
∴a=1，
∴P（X≤i）=，
當i≥2時，P（X=i）=P（X≤i）-P（X≤i-1）
==，
當i=1時，驗證也符合這個函數(shù)式，
總上可知P（X=i）=，i=1，2，3，4，5，6，
∴EX=1×+2×6×=
（2）記第一次抽到1，第二次抽到3為事件A，
第一次抽到3，第二次抽到1為事件B，
第一次抽到2，第二次抽到2為事件C
三個事件關系為互斥事件，且第一次與第二次的抽取相互獨立，
∴P（A）=P（X=1）P（X=3）=
P（B）=P（X=3）P（X=1）=
P（C）=P（X=2）P（X=2）=
∴要求的概率是P（A）+P（B）+P（C）==
即得到兩張標簽上的標號之和為4的概率為
分析：（1）根據(jù)所給的隨機變量的分布列，由分布列中各個概率之和是1，得到關于a的方程，解出a的值，根據(jù)所求的結果，仿寫一個i-1的概率，兩個相減，得到變量對應的概率，驗證 當變量等于1時，也滿足式子，得到分布列，求出期望值．
（2）有放回地每次抽取1張標簽，得到兩張標簽上的標號之和為4，包括三種情況，即取到的數(shù)字是1，3；2，2；3，1，三個事件關系為互斥事件，且第一次與第二次的抽取相互獨立，根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率得到結果．
點評：本題考查隨機變量的分布列的概念，性質及其表示，考查互斥事件的概率和相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查運算求解能力，是一個綜合題目．