Question

一個(gè)盒子裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6且質(zhì)地相同的標(biāo)簽各若干張，從中任取1張標(biāo)簽所得的標(biāo)號(hào)為隨機(jī)變量X，記P（X≤i）=P（X=1）+P（X=2）+…+P（X=i），i=1，2，…，6．若P(X≤i)=

i2+ai

42

（其中a為常數(shù)）
（1）求a的值以及隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX；
（2）有放回地每次抽取1張標(biāo)簽，求得到兩張標(biāo)簽上的標(biāo)號(hào)之和為4的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的隨機(jī)變量的分布列，由分布列中各個(gè)概率之和是1，得到關(guān)于a的方程，解出a的值，根據(jù)所求的結(jié)果，仿寫(xiě)一個(gè)i-1的概率，兩個(gè)相減，得到變量對(duì)應(yīng)的概率，驗(yàn)證 當(dāng)變量等于1時(shí)，也滿(mǎn)足式子，得到分布列，求出期望值．
（2）有放回地每次抽取1張標(biāo)簽，得到兩張標(biāo)簽上的標(biāo)號(hào)之和為4，包括三種情況，即取到的數(shù)字是1，3；2，2；3，1，三個(gè)事件關(guān)系為互斥事件，且第一次與第二次的抽取相互獨(dú)立，根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概率得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵P(X≤i)=

i2+ai

42

，
∴P（X≤6）=

62+6a

42

=1，
∴a=1，
∴P（X≤i）=

i2+i

42

，
當(dāng)i≥2時(shí)，P（X=i）=P（X≤i）-P（X≤i-1）
=

i2+i

42

-

(i-1)2+(i-1)

42

=

i

21

，
當(dāng)i=1時(shí)，驗(yàn)證也符合這個(gè)函數(shù)式，
總上可知P（X=i）=

i

21

，i=1，2，3，4，5，6，
∴EX=1×

1

21

+2×

2

21

+3×

3

21

+4×

4

21

+5×

5

21

+6×

6

25

=

13

3

（2）記第一次抽到1，第二次抽到3為事件A，
第一次抽到3，第二次抽到1為事件B，
第一次抽到2，第二次抽到2為事件C
三個(gè)事件關(guān)系為互斥事件，且第一次與第二次的抽取相互獨(dú)立，
∴P（A）=P（X=1）P（X=3）=

3

441

P（B）=P（X=3）P（X=1）=

3

441

P（C）=P（X=2）P（X=2）=

4

441

∴要求的概率是P（A）+P（B）+P（C）=

3

441

+

3

441

+

4

441

=

10

441

即得到兩張標(biāo)簽上的標(biāo)號(hào)之和為4的概率為

10

441

點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)變量的分布列的概念，性質(zhì)及其表示，考查互斥事件的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查運(yùn)算求解能力，是一個(gè)綜合題目．