Question

如圖1，，，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作，垂足在線段上且異于點(diǎn)，連接，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當(dāng)的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱、的中點(diǎn)，試在棱上確定一點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）時(shí), 三棱錐的體積最大．（2）

【解析】

試題分析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設(shè)，則．

由，知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

    

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立   

故當(dāng)，即時(shí), 三棱錐的體積最大．   

解法2：同解法1，得．  

令，由，且，解得．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大.

（2）解法1：以D為原點(diǎn)，建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系D-.

由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD＝1,AD＝CD＝2.

于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（，1,0），且BM＝（-1，1,1）.    

設(shè)N（0,, 0），則EN＝,-1,0).因?yàn)?i>EN⊥BM等價(jià)于EN·BM＝0,即（，-1,0）·（-1,1,1）＝+-1＝0，故＝，N（0, ，0） 

所以當(dāng)DN＝時(shí)（即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)）時(shí)，EN⊥BM.

設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為n=(,,),由可取＝(1,2,-1） 

設(shè)與平面所成角的大小為，則由，，可得

，即．   

故與平面所成角的大小為     

解法2：由（Ⅰ）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，，．

如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，，，則∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，，則四邊形為正方形，

所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則∥，

所以. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051911331536267747/SYS201305191134314563386158_DA.files/image056.png">平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051911331536267747/SYS201305191134314563386158_DA.files/image074.png">當(dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)是唯一的.

即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)），．      

連接，，由計(jì)算得，

所以△與△是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，

如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，，

則平面．在平面中，過(guò)點(diǎn)作于，

則平面．故是與平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即與平面所成角的大小為 

考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問(wèn)題中的不變量，空間線面角的計(jì)算方法，空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用，有一定的運(yùn)算量，屬中檔題