(本小題滿分12分)

如圖1,,過動點A作,垂足D在線段BC上且異于點B,連接AB,沿將△折起,使(如圖2所示).

(Ⅰ)當(dāng)的長為多少時,三棱錐的體積最大;

(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積最大時,設(shè)點分別為棱,的中點,試在棱上確定一點,使得,并求與平面所成角的大小.

 

【答案】

(Ⅰ)(Ⅱ)與平面所成角的大小

【解析】本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何取到最值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值。同時考察直線與平面所成角。本題可用綜合法和空間向量法都可以。運用空間向量法對計算的要求要高些。

(Ⅰ)解法1:在如圖1所示的△中,設(shè),則

,知,△為等腰直角三角形,所以.

由折起前知,折起后(如圖2),,,且

所以平面.又,所以.于是

               

,

當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,

故當(dāng),即時, 三棱錐的體積最大.                  

解法2:

同解法1,得.  

,由,且,解得

當(dāng)時,;當(dāng)時,

所以當(dāng)時,取得最大值.

故當(dāng)時, 三棱錐的體積最大.                           

(Ⅱ)解法1:以為原點,建立如圖a所示的空間直角坐標系

由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時,,

于是可得,,,,,

設(shè),則. 因為等價于,即

,故,.

所以當(dāng)(即的靠近點的一個四等分點)時,.   

設(shè)平面的一個法向量為,由 及

 可取

設(shè)與平面所成角的大小為,則由,,可得

,即

與平面所成角的大小為                                

解法2:由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時,

如圖b,取的中點,連結(jié),,,則.

由(Ⅰ)知平面,所以平面.

如圖c,延長至P點使得,連,則四邊形為正方形,

所以. 取的中點,連結(jié),又的中點,則,

所以. 因為平面,又,所以.

,所以. 又,所以.

因為當(dāng)且僅當(dāng),而點F是唯一的,所以點是唯一的.

即當(dāng)(即的靠近點的一個四等分點),.      

連接,,由計算得,

所以△與△是兩個共底邊的全等的等腰三角形,

如圖d所示,取的中點,連接,,

平面.在平面中,過點,

平面.故與平面所成的角.

在△中,易得,所以△是正三角形,

,即與平面所成角的大小為

 

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