Question

如圖，在四棱錐ABCD-PGFE中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA=1．
（Ⅰ）求PD與BC所成角的大��；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角A-PC-D的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）取的AB中點(diǎn)H，連接DH，易證BH∥CD，且BD=CD …（1分）
所以四邊形BHDC為平行四邊形，所以BC∥DH
所以∠PDH為PD與BC所成角…（2分）
因?yàn)樗倪呅�，ABCD為直角梯形，且∠ABC=45°，所以⊥DA⊥AB
又因?yàn)锳B=2DC=2，所以AD=1，因?yàn)镽t△PAD、Rt△DAH、Rt△PAH都為等腰直角三角形，
所以PD=DH=PH=，故∠PDH=60°…（4分）
（Ⅰ）連接CH，則四邊形ADCH為矩形，∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1
在Rt△BHC中，∠ABC=45°，∴CH=BH=1，CB=∴AD=CH=1，AC=
∴AC²+BC²=AB²∴BC⊥AC…（6分） 又PA平面ABCD∴PA⊥BC …（7分）
∵PA∩AC=A∴BC⊥平面PAC …（8分）
（Ⅲ）如圖，分別以AD、AB、AP為x軸，y軸，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系，則由題設(shè)可知：
A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（1，0，0），
∴=（0，0，1），=（1，1，-1）…（9分）
設(shè)m=（a，b，c）為平面PAC的一個(gè)法向量，則，即
設(shè)a=1，則b=-1，∴m=（1，-1，0）…（10分）
同理設(shè)n=（x，y，z） 為平面PCD的一個(gè)法向量，求得n=（1，1，1）…（11分）
∴
所以二面角A-PC-D為60°…（12分）
分析：（1）取的AB中點(diǎn)H，易證∠PDH為PD與BC所成角，解三角形可得；
（2）由已知結(jié)合線面垂直的判定可得：
（3）坐標(biāo)法求得平面的法向量，由向量的夾角可得二面角的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何的綜合問(wèn)題，涉及線面角，線面垂直和二面角，屬中檔題．