Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，.現(xiàn)沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn).點(diǎn)、分別在、上，且、、、四點(diǎn)共面.

（1）求證：；

（2）若平面平面，平面與平面夾角為，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

(1)本題首先可以設(shè)，通過(guò)題意即可得出的長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦定理即可計(jì)算出的長(zhǎng)并根據(jù)勾股定理判斷出，最后根據(jù)線面平行的相關(guān)性質(zhì)即可得出并證得；

(2)本題可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系然后利用平面的法向量來(lái)求出與平面所成角的正弦值。

（1）不妨設(shè)，則，

在中，根據(jù)余弦定理可得，計(jì)算得，

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，且、、、四點(diǎn)共面，所以平面.

又平面平面，所以.

而，故.

（2）因?yàn)槠矫?/span>平面，且，所以平面，，

因?yàn)?/span>，所以平面，，

因?yàn)?/span>，平面與平面夾角為，所以，

從而在中，易知為的中點(diǎn)，

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，

得，令，得.

設(shè)與平面所成角為，則。