Question

下列四個(gè)結(jié)論：（1）命題“平行四邊形是矩形”的否定是真命題；
（2）已知a_n=n²-λn，若數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，則λ≤2；
（3）等比數(shù)列{a_n}是增數(shù)列的充要條件是a₁＜a₂＜a₃；
（4）△ABC中，sinA＞sinB的充要條件是cosA＜cosB．
其中正確的有（　　）

A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

Answer 1

分析：（1）寫出命題“平行四邊形是矩形”的否定再做判斷；
（2）由a n=n2-λn，數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，知a_n+1-a_n=（n+1）²-λ（n+1）-n²+λn=2n+1-λ＞0恒成立．
（3）和（4）既要研究必要性，又要分析充分性．

解答：解：（1）命題“平行四邊形是矩形”的否定是：
“如果一個(gè)四邊形不是平行四邊形，則這個(gè)四邊形不是矩形”，它是真命題，故（1）正確；
（2）∵a n=n2-λn，數(shù)列{a_n}是增數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=（n+1）²-λ（n+1）-n²+λn=2n+1-λ＞0恒成立．
只要2n+1-λ的最小值大于0即可，
∴3-λ＞0．∴λ＜3．故（2）不正確；
（3）{a_n}是等比數(shù)列，
則由“a₁＜a₂＜a₃”可得數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，故充分性成立．
若數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則一定有a₁＜a₂＜a₃，故必要性成立．
∴等比數(shù)列{a_n}是增數(shù)列的充要條件是a₁＜a₂＜a₃．故（3）正確；
（4）必要性：在△ABC中，“cosB＞cosA”，由余弦函數(shù)在（0，π）是減函數(shù)，故有B＜A，
若A不是鈍角，顯然有“sinB＜sinA”成立，
若A是鈍角，因?yàn)锳+B＜π，故有B＜π-A＜

π

2

，故有sinB＜sin（π-A）=sinA
綜上，“cosB＞cosA”可以推出“sinB＜sinA”
充分性：由“sinB＜sinA”
若A是鈍角，在△ABC中，顯然有0＜B＜A＜π，可得，“cosB＞cosA”
若A不是鈍角，顯然有0＜B＜A＜

π

2

，此時(shí)也有cosB＞cosA，
綜上，“sinB＜sinA”推出“cosB＞cosA”成立
故△ABC中，sinA＞sinB的充要條件是cosA＜cosB．故（4）正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握充要條件的判斷方法，利用原命題真假證充分性，逆命題的真假證明必要性，本題中有一個(gè)易混點(diǎn)，即沒有搞清誰是誰的充要條件導(dǎo)致證明充分性與必要性交換，邏輯混亂，證明此類題時(shí)一定要搞清誰是誰的充要條件，一個(gè)易行的辦法是，找出所涉及的命題來，用證明原命題的真假來證明充分性，用證明逆命題的真假來證明必要性．