Question

5．如圖，過圓E外一點(diǎn)A作一條直線與圓E交于B，C兩點(diǎn)，且AC=3AB，作直線AF與圓E相切于點(diǎn)F，連結(jié)EF交BC于點(diǎn)D，已知圓E的半徑為2，∠EBC=30°．
（1）求AF的長；
（2）求$\frac{ED}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）可延長BE并交圓E于M，并連接CM，從而畫出圖形，根據(jù)條件便可求出BC的長，進(jìn)而求出AC的長，從而根據(jù)切割線定理求出AF的長；
（2）可過E作EH⊥BC，從而可得出△EDH與△ADF相似，從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，再根據(jù)題意即可得出EH的長，從而便可求出$\frac{ED}{AD}$的值．

解答 解：（1）延長BE交圓E于點(diǎn)M，連接CM，則∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以$BC=2\sqrt{3}$，
又$AB=\frac{1}{3}AC$，可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，所以$AC=3\sqrt{3}$．
根據(jù)切割線定理得$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}×3\sqrt{3}=9$，即AF=3．
（2）過E作EH⊥BC于H，則△EDH∽△ADF，從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}$，
又由題意知$CH=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$，EB=2，
所以EH=1，
因此，$\frac{ED}{AD}=\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 考查直徑所對圓周角為直角，三角函數(shù)定義，以及切割線定理，三角形相似的判定，相似三角形的對應(yīng)邊的比例關(guān)系．