【題目】
如圖,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形,E,F,O分別為PA,PB,AC的中點,AC=16,PA=PC=10.
(Ⅰ)設(shè)G是OC的中點,證明:FG∥平面BOE;
(Ⅱ)證明:在△ABO內(nèi)存在一點M,使FM⊥平面BOE,并求點M到OA,OB的距離.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)
【解析】試題分析:
(1)建立空間直角坐標系,利用題意結(jié)合平面的法向量和直線的方向向量可得FG∥平面BOE;
(2)設(shè)出點的坐標,利用空間直角坐標系可得點M到OA,OB的距離為.
試題解析:
(Ⅰ)如圖,連接OP,易知OB,OC,OP兩兩垂直,以點O為坐標原點,分別以OB,OC,OP所在直線為x軸,y軸,x軸,建立空間直角坐標系O-xyz,
則O(0,0,0),A(0,-8,0),B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).
由題意,得G(0,4,0)
因為=(8,0,0),=(0,-4,3),
所以平面BOE的一個法向量為n=(0,3,4).
由=(-4,4,-3),得n·=0,即n⊥.
又直線FG不在平面BOE內(nèi),所以FG∥平面BOE.
(Ⅱ)設(shè)點M的坐標為(x0,y0,0),
則=(x0-4,y0,-3).
所FM⊥平面BOE,所以∥n.
因此x0=4,y0=-,即點M的坐標是(4,-,0).
在平面直角坐標系xOy中,△AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組
經(jīng)檢驗,點M的坐標滿足上述不等式組,所以在△AOB內(nèi)存在一點M, 使FM⊥平面BOE.由點M的坐標得點M到OA,OB的距離分別為4,.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 過點, 為橢圓的半焦距,且,過點作兩條互相垂直的直線, 與橢圓分別交于另兩點, .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線的斜率為,求的面積;
(3)若線段的中點在軸上,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,命題q:實數(shù)x滿足 .
(1)若a=1,且p∨q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以O為極點, 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(Ⅰ)求圓的普通方程;
(Ⅱ)直線的極坐標方程是,射線與圓C的交點為,與直線的交點為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=3,a5+a7=12,{an}的前n項和為Sn .
(1)求an及Sn;
(2)令bn= (n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a1+a3=10,S4=24.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令Tn= ,求證:Tn< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)設(shè),試討論單調(diào)性;
(2)設(shè),當時,任意,存在,使,求實數(shù)的取值范圍.
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