Question

（1）已知函數(shù)f（x）=x³-3x，過(guò)點(diǎn)P（1，-2）的直線l與曲線y=f（x）相切，求l的方程；
（2）設(shè)f（x）=-

1

3

x³+

1

2

x²+2ax，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在1，4上的最小值為-

16

3

，求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點(diǎn)x₀處的切線斜率，可得切線方程，結(jié)合點(diǎn)P，即可求得過(guò)點(diǎn)P且與曲線C相切的直線方程；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求f（x）在該區(qū)間上的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（x0，

x

3 0

-3x0)，切線的斜率K=f′(x0)=3

x

2 0

-3，…（1分），
則切線L的方程為：y-(

x

3 0

-3

x

0

)=(3

x

2 0

-3)(x-x0)…（2分）
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P（1，-2），所以 -2-

x

3 0

+3x0=(3

x

2 0

-3)(1-x0)，
解得x₀=1或x0=-

1

2

…（4分）
故l的方程為y=-2或 y-(-2)=-

9

4

(x-1)，
即y=-2或9x+4y-1=0…（5分）
（2）令f'（x）=-x²+x+2a=0得x1=

1- 1+8a

2

，x2=

1+ 1+8a

2

，
故f（x）在（-∞，x₁）上遞減，在（x₁，x₂）上遞增，在（x₂，+∞）上遞減…（1分）
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x₂）…（2分）
又f(4)-f(1)=-

27

2

+6a＜0，即f（4）＜f（1）．
所以f（x）在[1，4]上的最小值為f(4)=8a-

40

3

=-

16

3

，得a=1，x₂=2…（3分）
故f（x）在1，4上的最大值為f(2)=

10

3

．…（4分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，考查函數(shù)的最值，是一道綜合題．