設(shè)直線l與球O有且僅有一個公共點P.從直線l出發(fā)的兩個半平面截球O的兩個截面圓O1和圓O2的半徑分別為3和2,若這兩個半平面α,β所成的二面角為120°.則球O的半徑R=
 
分析:由已知中直線l與球O有且僅有一個公共點P.從直線l出發(fā)的兩個半平面截球O的兩個截面圓O1和圓O2的半徑分別為3和2,若這兩個半平面α,β所成的二面角為120°.過P,O1和O2作球的截面,則OO1⊥O1P,OO2⊥O2P,O1PO2=120°,O1P=3,O2P=2,OP=R,根據(jù)兩角和的余弦公式,可以構(gòu)造一個關(guān)于R有方程,解方程即可求出R的值.
解答:解:∵直線l與球O有且僅有一個公共點P,
則直線l與球O相切于點P,
過P,O1和O2作球的截面,如下圖所示
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則O1P=3,O2P=2,OP=R
cos∠O1PO=
3
R
,sin∠O1PO=
R2-9
R

cos∠O2PO=
2
R
,sin∠O2PO=
R2-4
R

∵∠O1PO2=120°
∴cos∠O1PO2=cos∠O1PO•cos∠O2PO-sin∠O1PO•sin∠O2PO=
6-
(R2-9)(R2-4)
R2
=-
1
2

解得R=
2
57
3

故答案為:
2
57
3
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角,球的性質(zhì),兩角和的三角函數(shù),其中P,O1和O2作球的截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,是解答本題的關(guān)鍵.
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