設(shè)直線l與球O有且僅有一公共點(diǎn)P,從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面截球O的兩個(gè)截面圓O1和圓O2的半徑1和2,若這兩個(gè)半平面α,β所成二面角為1200,則球O的表面積為
112π
3
112π
3
分析:過P與O作直線l的垂面,畫出截面圖形,設(shè)出球的半徑,通過解三角形,利用轉(zhuǎn)化思想求出球的半徑的平方,然后求出球的表面積.
解答:解:過P與O作直線l的垂面,畫出截面圖形,如圖
設(shè)球的半徑為r,作OE⊥QP,OF⊥PM,則EP=1,PF=2,
設(shè)∠OPE=α,∠OPF=
3
,
所以
rcosα
rcos(
3
-α)
=
1
2

即sin α=3
3
cosα
,sin2α+cos2α=1解得
cos2α=
1
28

所以r2=
28
3

所以球的表面積為:4πr2=4π×
28
3
=
112π
3

故答案為:
112π
3
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查二面角的有關(guān)知識(shí),考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,空間想象能力,計(jì)算能力.
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