Question

已知數(shù)列{a_n}及f_n(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, f_n(-1)=(-1)ⁿn,n=1,2,3,…,
（1）求 a₁, a₂, a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求證： ．

Answer 1

（1）1,3,5；（2）；（3）見解析.
解：（I）由已知，所以.     
，所以.
，所以.      
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232125239841707.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以.
即.
所以對(duì)于任意的， .         
（III），
所以.     ①
. ②
①-②，得
           

所以.           
又=1，2，3…，故< 1.         

本試題主要是考查了數(shù)列中歸納猜想的原理，意義運(yùn)用函數(shù)關(guān)系求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，并且運(yùn)用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和的數(shù)學(xué)思想。