【題目】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a1=2,a3=18.?dāng)?shù)列{bn}是等差數(shù)列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Pn=b1+b4+b7+…+b3n﹣2 , Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8 , 其中n=1,2,3,….試比較Pn與Qn的大小,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)解:設(shè){an}的公比為q,由a3=a1q2得q2= =9,q=±3.
①當(dāng)q=﹣3時(shí),a1+a2+a3=2﹣6+18=14<20,
這與a1+a2+a3>20矛盾,故舍去.
②當(dāng)q=3時(shí),a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合題意.
∴an=a1qn﹣1=2×3n﹣1
設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3=26,
得4b1+ d=26,結(jié)合b1=2,解之得d=3,
所以bn=bn+(n﹣1)d=2+3(n﹣1)=3n﹣1
綜上所述,數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=2×3n﹣1、bn=3n﹣1;
(2)解:∵b1,b4,b7,…,b3n﹣2組成以3d為公差的等差數(shù)列,
∴Pn=nb1+ 3d= n2﹣ n;
同理可得:b10,b12,b14,…,b2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列,且b10=29,
∴Qn=nb10+ 2d=3n2+26n.
因此,Pn﹣Qn=( n2﹣ n)﹣(3n2+26n)= n(n﹣19).
所以對(duì)于正整數(shù)n,當(dāng)n≥20時(shí),Pn>Qn;當(dāng)n=19時(shí),Pn=Qn;當(dāng)n≤18時(shí),Pn<Qn.
【解析】(1)由等比數(shù)列通項(xiàng)公式,結(jié)合題意算出數(shù)列{an}的公比q=±3.討論可得當(dāng)q=﹣3時(shí)與題意矛盾,故q=3可得an=2×3n﹣1 . 由此得到{bn}的前4項(xiàng)和等于a1+a2+a3=26,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出公差d=3,得bn=3n﹣1;(2)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),可得b1 , b4 , b7 , …,b3n﹣2和b10 , b12 , b14 , …,b2n+8分別組成以3d、2d為公差的等差數(shù)列,由等差數(shù)列求和公式算出Pn= n2﹣ n、Qn=3n2+26n.作差后,因式分解得Pn﹣Qn= n(n﹣19),結(jié)合n為正整數(shù)加以討論,即可得到Pn與Qn的大小關(guān)系,從而使本題得到解決.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí),掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn) 為短軸的一個(gè)端點(diǎn),∠OF2B=60°.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)如圖,過右焦點(diǎn)F2 , 且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于D,E兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AE,AD分別交直線x=3于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k′.試問kk′是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請(qǐng)說明理由.
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【題目】已知集合M={x|﹣2<x<2},N={x|x2﹣2x﹣3<0},則集合M∩N=( )
A.{x|x<﹣2}
B.{x|x>3}
C.{x|﹣1<x<2}
D.{x|2<x<3}
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【題目】設(shè)Sn是數(shù)列[an}的前n項(xiàng)和, .
(1)求{an}的通項(xiàng);
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+|x﹣a|+1,x∈R,a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的最小值為g(a),令m=g(a),求m的取值范圍.
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【題目】命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0對(duì)一切x∈R恒成立;命題q:函數(shù)f(x)=lagax在(0,+∞)上遞增,若p∨q為真,而p∧q為假,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某農(nóng)場(chǎng)預(yù)算用5600元購買單價(jià)為50元(每噸)的鉀肥和20元(每噸)的氮肥,希望使兩種肥料的總數(shù)量(噸)盡可能的多,但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù),且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍.
(Ⅰ)設(shè)買鉀肥x噸,買氮肥y噸,按題意列出約束條件、畫出可行域,并求鉀肥、氮肥各買多少才行?
(Ⅱ)已知A(10,0),O是坐標(biāo)原點(diǎn),P(x,y)在(Ⅰ)中的可行域內(nèi),求 的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)f(x)=loga|x+1|在區(qū)間(﹣2,﹣1)上恒有f(x)>0,則關(guān)于a的不等式f(4a﹣1)>f(1)的解集為 .
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【題目】設(shè)集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5},B={x|3≤x≤22},
(1)若a=10,求A∩B;
(2)求能使AB成立的a值的集合.
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