Question

已知雙曲線x²-y²=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)P在該雙曲線上，且

PF1

•

PF2

=0，則點(diǎn)P到x軸的距離為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  2 3

  3

• D．

  3 2

  4

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程為x²-y²=1，可得焦距F₁F₂=2

2

，因?yàn)?span id="hrnnv9z" class="MathJye">

PF1

•

PF2

=0得PF₁⊥PF₂，所以|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．再結(jié)合雙曲線的定義，得到|PF₁|-|PF₂|=±2，最后聯(lián)解、配方，可得（|PF₁|+|PF₂|）²=12，從而得到|PF₁|+|PF₂|的值

解答：解：∵

PF1

•

PF2

=0，∴PF₁⊥PF₂，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²．
∵雙曲線方程為x²-y²=1，
∴a²=b²=1，c²=a²+b²=2，可得F₁F₂=2

2

，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=8
不妨設(shè)P為雙曲線x²-y²=1右支上一點(diǎn)，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a=2，（|PF₁|-|PF₂|）²=4
因此（|PF₁|+|PF₂|）²=2（|PF₁|²+|PF₂|²）-（|PF₁|-|PF₂|）²=12
∴|PF₁|+|PF₂|=2

3

，
∴|PF₁|=1+

3

，|PF₂|=

3

-1，
根據(jù)三角形PF₁F₂面積的兩種算法，得

1

2

|F1F2|×h=

1

2

|PF1||PF2|，
∴點(diǎn)P到x軸的距離h=

(1+ 3 )( 3 -1)

2 2

=

2

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)已知雙曲線上對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角為直角的兩條焦半徑，求它們長(zhǎng)度的和，著重考查了雙曲線的基本概念與簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．