Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，BC∥AD且BC：AD=1：2．
（1）求三棱錐A-PCD與四棱錐P-ABCD的體積之比；
（2）在PD上是否存在一點(diǎn)M，使得CM與平面PAB平行？證明你的結(jié)論．
（3）若∠BAD=90°且AB=AD，頂點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的射影恰還落在AB的中點(diǎn)0上，求證：PD⊥AC．

Answer 1

分析：（1）由于

VA-PCD

VP-ABCD

=

VP-ACD

VP-ABCD

=

S△ACD

SABCD

，由 BC：AD=1：2，可得

S△ACD

SABCD

=

1 2 AD•h′

1 2 (AD+BC)•h′

=

2

3

，即為三棱錐A-PCD與四棱錐P-ABCD的體積之比的值．
（2）存在，當(dāng)M為PD中點(diǎn)時(shí)滿足CM∥平面PAB．證明思路：取PA中點(diǎn)N，PD中點(diǎn)M，證明MNBC為平行四邊形，可得BN∥CM，再利用直線和平面平行的判定定理證得CM∥平面PAB．
（3）設(shè)OD與AC交于Q，AD=2，BC=1，則AO=OB=1．由已知Rt△AOD≌Rt△ABC，可得∠AOD=∠ACB．再由∠ACB+∠OAQ=

π

2

，可得∠AOD+∠OAQ=

π

2

，故有 AC⊥OD，
再由三垂線定理可得 AC⊥PD．

解答：解：（1）

VA-PCD

VP-ABCD

=

VP-ACD

VP-ABCD

=

1 3 • S△ACD•h

1 3 •SABCD•h

=

S△ACD

SABCD

．
又由 BC：AD=1：2，則

S△ACD

SABCD

=

1 2 AD•h′

1 2 (AD+BC)•h′

=

2

3

，∴三棱錐A-PCD與四棱錐P-ABCD的體積之比

VA-PCD

VP-ABCD

=

2

3

．
（2）存在，當(dāng)M為PD中點(diǎn)時(shí)滿足CM∥平面PAB．
證明：取PA中點(diǎn)N，PD中點(diǎn)M，連接NB，NM，MC，則MN平行且等于

1

2

AD，又由BC平行且等于

1

2

AD，
所以MN和 BC平行且相等，所以，MNBC 為平行四邊形，則 BN∥CM．
又由BN?平面PAB，CM?平面PAB，所以CM∥平面PAB．     
（3）取AB中點(diǎn)O，連PO，OD，AC，且OD，AC交于Q．設(shè)AD=2，BC=1，則AO=OB=1．
由已知Rt△AOD≌Rt△ABC，∴∠AOD=∠ACB．
∵∠ACB+∠OAQ=

π

2

，∴∠AOD+∠OAQ=

π

2

，故有 AC⊥OD．     
再由OD是PD在平面ABCD內(nèi)的射影，由三垂線定理可得 AC⊥PD．      

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用等體積法求棱錐的體積，直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，利用三垂線定理證明直線和直線垂直，屬于中檔題．