【題目】設(shè)F1、F2分別為橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A為橢圓C的左頂點(diǎn),點(diǎn)B為橢圓C的上頂點(diǎn),且|AB|=,△BF1F2為直角三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線(xiàn)y=kx+2與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,求實(shí)數(shù)k的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
(1)利用勾股定理a2+b2=3,利用焦點(diǎn)三角形為直角三角形可知b=c,結(jié)合b2+c2=a2可求出,進(jìn)而可得橢圓C的方程;
(2)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程,可得關(guān)于x的一元二次方程,利用直線(xiàn)與橢圓有交點(diǎn)可知,結(jié)合韋達(dá)定理及OP⊥OQ,轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零,計(jì)算即得結(jié)論.
(1)由題可知,所以a2+b2=3,因?yàn)椤鰾F1F2為直角三角形,所以b=c,
又b2+c2=a2,所以,所以橢圓方程為:.
(2)由,得:(1+2k2)x2+8kx+6=0,
由△=(8k)2﹣4(1+2k2)6>0,得:,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則有 ,
因?yàn)镺P⊥OQ,所以
=,
所以k2=5,滿(mǎn)足,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若曲線(xiàn)在處切線(xiàn)的斜率為,求此切線(xiàn)方程;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)在2019年教師招聘考試中,參加、、、四個(gè)崗位的應(yīng)聘人數(shù)、錄用人數(shù)和錄用比例(精確到1%)如下:
崗位 | 男性應(yīng)聘人數(shù) | 男性錄用人數(shù) | 男性錄用比例 | 女性應(yīng)聘人數(shù) | 女性錄用人數(shù) | 女性錄用比例 |
269 | 167 | 62% | 40 | 24 | 60% | |
217 | 69 | 32% | 386 | 121 | 31% | |
44 | 26 | 59% | 38 | 22 | 58% | |
3 | 2 | 67% | 3 | 2 | 67% | |
總計(jì) | 533 | 264 | 50% | 467 | 169 | 36% |
(1)從表中所有應(yīng)聘人員中隨機(jī)抽取1人,試估計(jì)此人被錄用的概率;
(2)將應(yīng)聘崗位的男性教師記為,女性教師記為,現(xiàn)從應(yīng)聘崗位的6人中隨機(jī)抽取2人.
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;
(ii)設(shè)為事件“抽取的2人性別不同”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿(mǎn)足.
(1)證明:數(shù)列為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,且對(duì)任意的正整數(shù)n,都有,求整數(shù)的值;
(3)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,若,且存在正整數(shù)s,t,使得是整數(shù),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知有窮數(shù)列,,,,.若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素,則稱(chēng)該數(shù)列為數(shù)列.對(duì)于數(shù)列,定義如下操作過(guò)程:從中任取兩項(xiàng),,將的值添在的最后,然后刪除,,這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列(約定:一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實(shí)施操作過(guò)程,得到的新數(shù)列記作,,如此經(jīng)過(guò)次操作后得到的新數(shù)列記作.
(1)設(shè),,請(qǐng)寫(xiě)出的所有可能的結(jié)果;
(2)求證:對(duì)于一個(gè)項(xiàng)的數(shù)列操作總可以進(jìn)行次;
(3)設(shè),,,,,,,,,求的可能結(jié)果,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某烘焙店加工一個(gè)成本為60元的蛋糕,然后以每個(gè)120元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的這種蛋糕作餐廚垃圾處理.
(1)若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕,,求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:個(gè),)的函數(shù)解析式;
(2)烘焙店記錄了100天這種蛋糕的日需求量(單位:個(gè)),整理得下表:
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①若烘焙店一天加工16個(gè)這種蛋糕,表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求的分布列與數(shù)學(xué)期望及方差;
②若烘焙店一天加工16個(gè)或17個(gè)這種蛋糕,僅從獲得利潤(rùn)大的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)加工16個(gè)還是17個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中國(guó)古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國(guó)時(shí)代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開(kāi)始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過(guò)連接管道流到下部容器,如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐容器組成,圓錐的底面圓的直徑和高均為8 cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐高度的(細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為( )
A.2 cmB. cmC. cmD. cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有四座城市、、、,其中在的正東方向,且與相距,在的北偏東方向,且與相距;在的北偏東方向,且與相距,一架飛機(jī)從城市出發(fā)以的速度向城市飛行,飛行了,接到命令改變航向,飛向城市,此時(shí)飛機(jī)距離城市有( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),定義函數(shù),給出下列命題:①;②函數(shù)是奇函數(shù);③當(dāng)時(shí),若,,總有成立,其中所有正確命題的序號(hào)是( )
A.②B.①②C.③D.②③
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