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如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）根據中位線可得∥，從而可證得∥平面。證四邊形為平行四邊形可得∥平面，從而可證得平面平面。（2）法一：延長、交于點，連結，則平面，易證△與△全等。過作的垂線，則與垂足的連線也垂直。由二面角的平面角的定義可得所求二面角。再用余弦定理即可求其余弦值。法二空間向量法。由題意可以為坐標原點建立空間直角坐標系。根據各點的坐標求出個向量的坐標，在根據數量積公式求各面的法向量，在用數量積公式求其兩法向量夾角的余弦值。注意兩法向量所成的角可能與二面角相等也可能為其補角。
試題解析：(1) 證明： 且∥，2分
則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.
6分
(2) 『解法1』：
延長、交于點，連結，則平面，易證△與△全等，過作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補角.
易求，又，，由面積橋求得，所以
所以所求角為，所以
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為
『解法2』：
以為原點，方向為軸，以平面內過點且垂直于方向為軸 以方向為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.
則，，，
，，8分
所以，，
可求得平面的法向量為
又，，
可求得平面的法向量為
則，
因此平面與平面所成銳二面角的余弦值為 12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，為的中點．

（1）設與平面所成的角為，二面角的大小為，求證：；
（2）在線段上是否存在一點（與兩點不重合），使得∥平面? 若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面．
 
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是線段AD的中點．沿直線BD將△BCD翻折成△BCD，使得平面BCD平面ABD．

(1)求證：C'D平面ABD；
(2)求直線BD與平面BEC'所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，在Rt中，， D、E分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖2．

（1）求證：平面平面；
（2）若，求與平面所成角的余弦值；
（3）當點在何處時，的長度最小，并求出最小值．

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設A1、A2、A3、A4、A5是空間中給定的5個不同的點，則使＋＋＋＋＝0成立的點M的個數為________．

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已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若⊥,=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,則實數x,y,z分別為(　　)
A．,-,4B．,-,4
C．,-2,4D．4,,-15

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(a＋b)·(a－b)的值為______．

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