如圖,已知的直徑,點、上兩點,且,,為弧的中點.將沿直徑折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖2).

(1)求證:;
(2)在弧上是否存在點,使得平面?若存在,試指出點的位置;若不存在,請說明理由;
(3)求二面角的正弦值.
(1)證明過程詳見解析(2)在弧上存在點,且點為弧的中點;(3)。

試題分析:(1)連結(jié)CO,則CO⊥AB,證明∠FOB=∠CAB,從而得出OF∥AC;(2)找出弧BD的中點G,證明OG∥AD,由(1)知,OF∥AC,先證明線面平行,在證明面面平行;(3)用三垂線法作出二面角C-AD—B的平面角,再通過解三角形,求出二面角平面角的余弦值,或建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法證明平行和求二面角.
試題解析:(法一):證明:(1)如右圖,連接,
,,
為弧的中點,
(2)取弧的中點,連接
,故,
由(1),知平面,故平面平面,
平面,因此,在弧上存在點,使得平面,且點為弧的中點.
(3)過,連
因為,平面平面,故平面
又因為平面,故,所以平面,
是二面角的平面角,又,,故
平面,平面,得為直角三角形,
,故,可得==,故二面角的正弦值為.
(法二):證明:(1)如圖,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以為原點,作空間直角坐標(biāo)系,


,
為弧的中點,的坐標(biāo)為,
,,即
(2)設(shè)在弧上存在點,使得平面,
由(1),知平面,平面平面,則有
設(shè),,.又,
,解得(舍去).,則為弧的中點.
因此,在弧上存在點,使得平面,且點為弧的中點.
(3),的坐標(biāo),
設(shè)二面角的大小為,為平面的一個法向量.

,解得,,取平面的一個法向量,
,故二面角的正弦值為.
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