Question

【題目】如圖，四棱錐中側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，，是的中點(diǎn).

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）證明四邊形是平行四邊形，可得，進(jìn)而得證.

（2）首先取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)題意易證底面， 再建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求得余弦值.

（1）取的中點(diǎn)，連接，，

∵是的中點(diǎn)，∴，

又，∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，

∴平面.

（2）取的中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>，所以

又因?yàn)槠矫?/span>底面，所以底面.

分別以、所在的直線為軸和軸，以底面內(nèi)的中垂線為軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

令，則，

因?yàn)?/span>是等邊三角形，則，為的中點(diǎn)，，

則，，，

∴，，，

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

則，令，，

，令，故可取，

∴，

經(jīng)檢驗(yàn)，二面角的余弦值的大小為.