Question

12．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）點D在邊A₁C₁上且C₁D=$\frac{1}{3}$C₁A₁，證明在線段BB₁上存在點E，使DE∥平面ABC₁，并求此時$\frac{BE}{{B{B_1}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線線垂直證明線面垂直，由線面垂直證明面面垂直即可；
（2）在△AA₁C₁中利用相似得DF∥AC₁，平行四邊形AA₁B₁B中EF∥AB，
兩組相交直線分別平行可得平面EFD∥平面ABC₁，則有ED∥平面ABC₁．

解答 解：（1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有A₁A⊥平面ABC；
∴A₁A⊥AC，又A₁A=AC，∴A₁C⊥AC₁；
又BC₁⊥A₁C，∴A₁C⊥平面ABC₁，
則平面ABC₁⊥平面A₁ACC₁；
（2）當(dāng)$\frac{BE}{{B{B_1}}}=\frac{1}{3}$時，DE∥平面ABC₁
在A₁A上取點F，使$\frac{AF}{{A{A_1}}}=\frac{1}{3}$，
連EF，F(xiàn)D，EF∥AB，DF∥AC₁，
即平面EFD∥平面ABC₁，則有ED∥平面ABC₁；

點評 本題考查了空間中的線線、線面和面面平行與垂直的應(yīng)用問題，是綜合性題目．