Question

已知函數(shù)f（x），（x∈D），若同時滿足以下條件：
①f（x）在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]（a＜b）．那么撐f（x）（x∈D）為閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)f（x）=

x

符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)y=lnx+3x-6是不是閉函數(shù)，若是請找出區(qū)間[a，b]，若不是請說明理由；
（3）若y=（x-k）²，x∈（k，+∞）是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=

x

為單調(diào)遞增函數(shù)，可得

f(a)= a =a f(b)= b =b

（a＜b），解得答案；
（2）由函數(shù)lnx+3x-6在（0，+∞）單調(diào)遞增可知

f(a)=lna+3a-6=a f(b)=lnb+3b-6=b

，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷；
（3）由y=（x-k）²，x∈（k，+∞）是閉函數(shù)，易知函數(shù)是增函數(shù)，則在區(qū)間[a，b]上函數(shù)的值域也是[a，b]，說明函數(shù)f（x）圖象與直線y=x有兩個不同交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x

在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
若存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，
則

f(a)= a =a f(b)= b =b

（a＜b），
即a，b為

x

=x的兩個非負(fù)根，
解

x

=x得：x=0，或x=1，
∴a=0，b=1；
（2）∵函數(shù)lnx+3x-6在（0，+∞）單調(diào)遞增，
若函數(shù)y=lnx+3x-6是閉函數(shù)，
則

f(a)=lna+3a-6=a f(b)=lnb+3b-6=b

，
即a，b為lnx=6-2x的兩個正根，
由方程lnx=6-2x有且只有一個正根，
故函數(shù)y=lnx+3x-6不是閉函數(shù)；
（3）若y=（x-k）²，x∈（k，+∞）是閉函數(shù)，
由y=（x-k）²，x∈（k，+∞）為增函數(shù)，
則

f(a)=(a-k)2=a f(b)=(b-k)2=b

，
即a，b為x²-（2k+1）x+k²=0的兩個大于k的根，
即

(2k+1)2-4k2＞0 2k+1- (2k+1)2-4k2 2 ＞k

，
解得：k∈（-

1

4

，0）

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，方程的解與函數(shù)的交點(diǎn)的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的應(yīng)用，綜合應(yīng)用了函數(shù)的知識及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想．