已知定點A(0,
3
)
,點B在圓F:x2+(y-
3
)2=16
上運動,F(xiàn)為圓心,線段AB的垂直平分線交BF于點P.
(1)求動點P的軌跡E的方程;
(2)若曲線Q:x2-2ax+y2+a2=
1
4
被軌跡E包圍著,求實數(shù)a的最小值;
(3)已知Q(2,0),求|PQ|的最大值.
分析:(1)由題意得|PA|=|PB|,得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4>|AF|=2,根據(jù)橢圓的定義可求得動點P的軌跡E的方程;
(2)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)(有界性),可求得實數(shù)a的最小值;
(3)表示出|PQ|,利用配方法可求|PQ|的最大值.
解答:解:(1)由題意得|PA|=|PB|,
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4>|AF|=2
∴P點軌跡是以A、F為焦點的橢圓.
其中c=
3
,a=2,∴b=1,∴橢圓方程為x2+
y2
4
=1
;
(2)曲線Q:x2-2ax+y2+a2=
1
4
化為(x-a)2+y2=
1
4
,
則曲線Q是圓心在(a,0),半徑為
1
2
的圓.
設M(x,y)是此曲線上任意一點,則
-
1
2
≤y≤
1
2
a-
1
2
≤x≤a+
1
2

∵曲線Q:x2-2ax+y2+a2=
1
4
被軌跡E包圍著,
-1≤a-
1
2
≤a+
1
2
≤1

-
1
2
≤a≤
1
2
,∴實數(shù)a的最小值是-
1
2
;
(3)設P(x,y),則有y2=4(1-x2),x∈[-1,1]
∴|PQ|2=(x-2)2+y2=-3x2-4x+8=-3(x+
2
3
)2+
28
3
,
x=-
2
3
時,|PQ|2max=
28
3
,∴|PQ|max=
2
21
3
點評:本題考查橢圓的定義和幾何性質(zhì),以及點圓位置關(guān)系,考查配方法,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習題

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已知定點A(2,0),動點P在拋物線y2=2x上運動,則|PA|的最小值為( 。
A、4
B、3
C、2
D、
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(0,-1)
,
b
=(
1
2
,1)
,直線l經(jīng)過定點A(0,3)且以
a
+2
b
為方向向量.又圓C的方程為(x-m)2+(y-2)2=4(m>0).
(1)求直線l的方程;
(2)當直線l被圓C截得的弦長為2
3
時,求實數(shù)m的值.

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(1)當k=0時,求點P的軌跡方程;

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(1)已知點(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a=

[  ]

A.
B.
C.
D.

(2)已知定點A(0,1),點B在直線x+y=0上運動,當線段AB最短時,點B的坐標是________.

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