【題目】對于定義在區(qū)間上的函數(shù),若同時滿足:

)若存在閉區(qū)間,使得任取,都有是常數(shù));

)對于內(nèi)任意,當(dāng),時總有恒成立,則稱函數(shù)為“平底型”函數(shù).

1)判斷函數(shù)是否是“平底型”函數(shù)?簡要說明理由;

2)設(shè)是(1)中的“平底型”函數(shù),若不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

3)函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù),求滿足的條件,并說明理由.

【答案】1是“平底型”函數(shù),不是“平底型”函數(shù);理由見解析;(2;

3.

【解析】

1)將函數(shù)分別表示為分段函數(shù),結(jié)合題中定義對這兩個函數(shù)是否為“平底型”函數(shù)進行判斷;

2)由(1)知,,由題意得出,利用絕對值三角不等式求出的最小值,然后分、、三種情況來解不等式,即可得出的取值范圍;

3)假設(shè)函數(shù)是“平底型”函數(shù),則該函數(shù)的解析式需滿足“平底型”函數(shù)的兩個條件,化簡函數(shù)解析式,檢驗“平底型”函數(shù)的兩個條件同時具備的、值是否存在.

1,.

對于函數(shù),當(dāng)時,,

當(dāng)時,;當(dāng)時,.

所以,函數(shù)為“平底型”函數(shù).

對于函數(shù),當(dāng)時,;當(dāng)時,.

但區(qū)間不是閉區(qū)間,所以,函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

2)由(1)知,,

由于不等式對一切恒成立,則.

由絕對值三角不等式得,則有.

①當(dāng)時,由,得,解得,此時,;

②當(dāng)時,恒成立,此時,;

③當(dāng)時,由,得,解得,此時,.

綜上所述,的取值范圍是

3.

①當(dāng)時,

i)若,則,該函數(shù)為“平底型”函數(shù);

ii)若,則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

②當(dāng)時,若時,則,當(dāng)時,,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

③當(dāng)時,則

i)若,則該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

ii)若,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù);

iii)若,則,則,顯然,該函數(shù)不是“平底型”函數(shù).

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù).

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1)若集合,求當(dāng)時,的值;

2)若集合,證明:時集合時集合(為了以示區(qū)別,用表示)有關(guān)系式,其中;

3)對于(2)中集合.定義,求(用n表示).

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