Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)動(dòng)圓截直線和所得的弦長(zhǎng)分別為8,4.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡方程;

（2）在軌跡上是否存在這樣的點(diǎn)：它到點(diǎn)的距離等于到點(diǎn)的距離？若存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1)xy=10．(2)存在滿足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式得到關(guān)于x,y的等式，化簡(jiǎn)等式可得點(diǎn)M的軌跡方程為xy=10．

(2)由題意得到關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，解方程可知存在滿足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為.

試題解析：

(1)如圖所示，設(shè)點(diǎn)M（x，y），由條件可得，AB=4，EC=2，

由點(diǎn)到直線的距離公式可得，，

由垂徑定理可得，MA2+AB2=MC2+EC2，

∴，化簡(jiǎn)可得，xy=10．

∴點(diǎn)M的軌跡方程為xy=10．

(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，

由題意可得：，

解得：，據(jù)此可得：存在滿足題意的點(diǎn)，其坐標(biāo)為：.