Question

已知函數(shù)f(x)=logm

x-3

x+3

若f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），判斷f（x）在定義域上的增減性，并加以證明．

Answer 1

分析：先判斷f（x）在定義域上的增減性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進行證明，注意對m與1進行比較，然后分類討論判定出單調(diào)性即可．

解答：解：當0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)．
∵f（x）的定義域為[α，β]（β＞α＞0），則[α，β]?（3，+∞）．
設(shè)x₁，x₂∈[α，β]，則x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，
f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，
∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，
∴當0＜m＜1時，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
當m＞1時，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故當0＜m＜1時，f（x）為減函數(shù)；m＞1時，f（x）為增函數(shù)．

點評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．