Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）=4cosxsin（x+）-1=4cosx（sinx+cosx）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
則f（x）的遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]k∈Z；
（2）∵x∈[-，]，∴2x+∈[-，]，
∴sin（2x+）∈[-，1]，
則f（x）的值域?yàn)閇-1，]．
分析：（1）將函數(shù)解析式先利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的遞減區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞減區(qū)間；
（2）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出正弦函數(shù)的值域，即可確定出f（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．