Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線是線段的垂直平分線，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)，詳見解析.

【解析】

(1)由焦點(diǎn)和離心率可得的值，則方程易求.

(2)設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合線段的中點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系(或點(diǎn)差法)可求出直線的斜率，進(jìn)而可表示出直線的方程，判斷其所過(guò)定點(diǎn).

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，則.

橢圓的離心率，則.

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）方法一：顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.

當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，易知，設(shè)直線的方程為，

代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得.

設(shè)，，則，解得.

因?yàn)橹本�是線段的垂直平分線，故直線，即.

令，此時(shí)，于是直線過(guò)定點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知，此時(shí)直線，故直線過(guò)定點(diǎn).

綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).

方法二：顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，故，且直線的斜率不為.

當(dāng)直線的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，，

則有，，

兩式相減得.

由線段的中點(diǎn)為，則，

故直線的斜率.

因?yàn)橹本�是線段的垂直平分線，故直線，即.

令，此時(shí)，于是直線過(guò)定點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易知，此時(shí)直線，故直線過(guò)定點(diǎn).

綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).