Question

下面玩擲骰子放球的游戲：若擲出1點(diǎn)，甲盒中放入一球；若擲出2點(diǎn)或是3點(diǎn)，乙盒中放入一球；若擲出4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，丙盒中放入一球!設(shè)擲n次后，甲、乙、丙盒內(nèi)的球數(shù)分別為x，y，z
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求x、y、z成等差數(shù)列的概率；（2）當(dāng)n=6時(shí)，求x、y、z成等比數(shù)列的概率；
（3）設(shè)擲4次后，甲盒和乙盒中球的個(gè)數(shù)差的絕對(duì)值為ξ，求Eξ．
分析：顯然題目描述的是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，但不是我們熟悉的兩個(gè)而是三個(gè)，因此需要運(yùn)用類比方法求解．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x+y+z=3，且2y=x+z，求出x、y、z的值有三種情形，然后分別求出三種情形時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，最后根據(jù)互斥事件的概率公式解之即可；
（2）根據(jù)n=6，且x、y、z成等比數(shù)列時(shí)，則x+y+z=6，且y²=x•z求出x、y、z的值，然后根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式解之即可；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4，分別根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出相應(yīng)的概率，最后利用數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解．

解答：解：（1）因x+y+z=3，且2y=x+z，所以

x=0 y=1 z=2

，或

x=1 y=1 z=1

，或

x=2 y=1 z=0

當(dāng)x=0，y=1，z=2時(shí)，只投擲3次出現(xiàn)1次2點(diǎn)或3點(diǎn)、2次4點(diǎn)或5次6點(diǎn)，即此時(shí)的概率為

C

1 3

•(

1

6

)0•(

1

3

)1•(

1

2

)2=

1

4

．
當(dāng)x=1，y=1，z=1時(shí)，只投擲3次出現(xiàn)1次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或是3點(diǎn)、1次4點(diǎn)或5點(diǎn)或6點(diǎn)，即此時(shí)的概率為

C

1 3

•

C

1 2

•(

1

6

)1•(

1

3

)1•(

1

2

)1=

1

6

．
當(dāng)x=2，y=1，z=0時(shí)，只投擲3次出現(xiàn)2次1點(diǎn)、1次2點(diǎn)或3點(diǎn)，即此時(shí)的概率為

C

1 3

•(

1

6

)2•(

1

3

)1•(

1

2

)0=

1

36

．
故當(dāng)n=3時(shí)，x，y，z成等差數(shù)列的概率為

1

4

+

1

6

+

1

36

=

4

9

；
（2）當(dāng)n=6，且x、y、z成等比數(shù)列時(shí)，由x+y+z=6，且y²=x•z得：x=y=z=2．此時(shí)概率為

C

2 6

•(

1

6

)2•

C

2 4

•(

1

3

)2•

C

2 2

•(

1

2

)2=

5

72

；
（3）ξ的可能值為0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=(

1

2

)4+

C

1 4

•(

1

6

)1•

C

1 3

•(

1

3

)1•

C

2 2

(

1

2

)2+

C

2 4

•(

1

6

)2•

C

2 2

(

1

3

)2=

107

432

P(ξ=1)=

C

1 4

(

1

6

)1(

1

2

)3+

C

1 4

(

1

3

)1(

1

2

)3+

C

2 4

(

1

6

)2

C

1 2

(

1

3

)1

C

1 1

(

1

2

)1+

C

1 4

(

1

6

)1

C

2 3

(

1

3

)2

C

1 1

(

1

2

)1=

5

12

P(ξ=2)=

C

2 4

(

1

6

)2(

1

2

)2+

C

2 4

(

1

3

)2(

1

2

)2+

C

3 4

(

1

6

)3(

1

3

)1+

C

1 4

(

1

6

)1(

1

3

)3=

155

648

P(ξ=3)=

C

3 4

(

1

6

)3(

1

2

)1+

C

3 4

(

1

3

)1(

1

2

)1=

1

12

；P(ξ=4)=

C

4 4

(

1

6

)4+

C

4 4

(

1

3

)4=

17

1296

；Eξ=

107

432

×0+

5

12

×1+

155

648

×2+

1

12

×3+

17

1296

×4=

97

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及離散型隨機(jī)變量的期望和n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．