Question

【題目】(理)設b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數，用隨機變量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0實根的個數(重根按一個計).

(1)求方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率．

(2)求ξ的分布列和數學期望．

(3)求在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析（3）

【解析】試題分析：（1）由題意知，本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的基本事件總數為6×6，滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b2-4c≥0，對于c的取值進行列舉，得到事件數，根據概率公式得到結果．
（2）由題意知用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數得到ξ的可能取值0，1，2根據第一問做出的結果寫出變量對應的概率，寫出分布列和期望．
（3）在先后兩次出現的點數中有5的條件下，方程x2+bx+c=0有實根，這是一個條件概率，做出先后兩次出現的點數中有5的概率和先后兩次出現的點數中有5的條件下且方程x2+bx+c=0有實根的概率，根據條件概率的公式得到結果．

試題解析：

(1)基本事件總數為6×6＝36，

若使方程有實根，則Δ＝b2－4c≥0，即．

當c＝1時，b＝2,3,4,5,6；

當c＝2時，b＝3,4,5,6；

當c＝3時，b＝4,5,6；

當c＝4時，b＝4,5,6；

當c＝5時，b＝5,6；

當c＝6時，b＝5,6，

目標事件個數為5＋4＋3＋3＋2＋2＝19，

因此方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率為．

(2)由題意知，ξ＝0,1,2，則

P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，

故ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P

ξ的數學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．

(3)記“先后兩次出現的點數中有5”為事件M，“方程ax2＋bx＋c＝0有實根”為事件N，則P(M)＝，P(MN)＝，

P(N|M)＝＝．