Question

已知動圓P過點并且與圓相外切，動圓圓心P的軌跡為W，軌跡W與x軸的交點為D．
（Ⅰ）求軌跡W的方程；
（Ⅱ）設直線l過點（m，0）（m＞2）且與軌跡W有兩個不同的交點A，B，求直線l斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，證明直線l過定點，并求出這個定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可知|PM|-|PN|=4由雙曲線的定義可知W是以M，N為焦點的雙曲線的右支，則曲線方程可得．
（2）設出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立消去y，設A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，x₁，x₂和判別式確定k的范圍．
（3）利用A，B的坐標表示出，根據(jù)結果為0整理求得m，則直線的方程可得，根據(jù)直線方程可知直線l過定點，定點坐標為．
解答：解：（Ⅰ）由已知，
∴點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，且．
∴軌跡W的方程為．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=k（x-m）（m＞2，k≠0）．
由得（1-4k²）x²+8k²mx-4k²m-4=0．
設A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
則，①
，②
△=64k⁴m²+4（1-4k²）（4k²m²+4）＞0．③
由①②③得4k²＞1．
∴直線l斜率k的取值范圍是．
（Ⅲ）=（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k（x₁-m）k（x₂-m）
=（1+k²）x₁x₂-（2+mk²）（x₁+x₂）+4+k²m²
=．
∵=0，
∴=0，
∴（1+k²）（4k²m²）-（2+mk²）8mk²+（4+k²m²）（4k²-1）=0，
∴20k²-16k²m+3k²m²=0．
∵k≠0，
∴3m²-16m+20=0，解得，或m=2（舍）．
∴直線l的方程為．
∴直線l過定點，定點坐標為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．