Question

（本小題滿分12分）
已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)并且與圓相外切，動(dòng)圓圓心P的軌跡為W，過(guò)點(diǎn)N的直線與軌跡W交于A、B兩點(diǎn)。
（Ⅰ）求軌跡W的方程；   （Ⅱ）若，求直線的方程；
（Ⅲ）對(duì)于的任意一確定的位置，在直線上是否存在一點(diǎn)Q，使得，并說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意可知 ∴，
∴點(diǎn)P的軌跡W是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為，則  ∴，∴軌跡W的方程為
（Ⅱ）當(dāng)的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足，故的斜率存在，設(shè)的方程為，由得，又設(shè)，
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由①②③解得，∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即，故所求直線的方程為：；
（3）問(wèn)題等價(jià)于判斷以AB為直徑的圓是否與直線有公共點(diǎn)若直線的斜率不存在，
則以AB為直徑的圓為，可知其與直線相交；
若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為，
由（2）知且，又為雙曲線的右焦點(diǎn)，
雙曲線的離心率e=2，則
設(shè)以AB為直徑的圓的圓心為S，點(diǎn)S到直徑的距離為d，則
∴
∵  ∴即，即直線與圓S相交。
綜上所述，以線段AB為直徑的圓與直線相交；
故對(duì)于的任意一確定的位置，
與直線上存在一點(diǎn)Q（實(shí)際上存在兩點(diǎn)）使得

解析