Question

已知C為線段AB上一點P為直線AB外一點I為PC上一點，滿足|

PA

|-|

PB

|=4，|

PA

-

PB

|=10，

PA • PC

|PA|

=

PB • PC

|PB|

，且

BI

=

BA

+λ（

AC

|AC|

+

AP

|AP|

）（λ＞0），則

BI • BA

|BA|

的值為

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由已知得PC為∠APB的角平分線，I是三角形ABP的內(nèi)心，|AB|=10，

BI • BA

|BA|

表示的是

BI

在

BA

上的投影長度．由此能求出

BI • BA

|BA|

的值．

解答： 解：∵

PA • PC

|PA|

=

PB • PC

|PB|

，
∴∠APC=∠CPB，即PC為∠APB的角平分線，
∵

BI

=

BA

+λ（

AC

|AC|

+

AP

|AP|

）（λ＞0），
∴I在∠BAP的角平分線上，即I是三角形ABP的內(nèi)心，
∵|

PA

-

PB

|=10，∴|AB|=10，．

BI • BA

|BA|

表示的是

BI

在

BA

上的投影長度．
過I做IK垂直于AB于K，
則由圓的切線性質(zhì)和題意可得|AK|-|BK|=4，|AK|+|BK|=10，
解得|BK|=3即所求，
故

BI • BA

|BA|

的值為3．
故答案為：3．

點評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確理解條件中所給的幾個關(guān)系式，注意把條件轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的條件，本題是一個比較好的題目，屬于中檔題．